2006年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
一. 填空题（本大题满分048分）
1. 计算： .
2. 方程 的解 .
3. 函数 的反函数 .
4. 不等式 的解集是 .
5. 已知圆 和直线 . 若圆 与直线 没有公共
点，则 的取值范围是 .
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数. 当 时， ，则
当 时， .
7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首
尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.
8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .
9. 在△ 中，已知 ，三角形面积为12，则 .
10. 若向量 的夹角为 ， ，则 .
11. 已知直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点， 为坐标原
点，则三角形 面积的最小值为 .
12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；
反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语
言描述为：若有限数列 满足 ，则
（结论用数学式子表示）.
二．选择题（本大题满分016分）
13. 抛物线 的焦点坐标为( )
（A） . （B） . （C） . （D） .
14. 若 ，则下列不等式成立的是( )
（A） . （B） . （C） .（D） .
15. 若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的( )
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
16. 若集合 ，则A∩B等于( )
三．解答题（本大题满分086分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. (本题满分12分)在长方体 中，已知 ，求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
18. (本题满分12分) 已知复数 满足 为虚数单位）， ，求一个以 为根的实系数一元二次方程.
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
已知函数 .
（1）若 ，求函数 的值； （2）求函数 的值域.
20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 . 观测点 同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在 轴上方时，观测点 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
设函数 .
（1）在区间 上画出函数 的图像；
（2）设集合 . 试判断集合 和 之间的关系，并给出证明；
（3）当 时，求证：在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方.
22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.
已知数列 ，其中 是首项为1，公差为1的等差数列； 是公差为 的等差数列； 是公差为 的等差数列（ ）.
（1）若 ，求 ；
（2）试写出 关于 的关系式，并求 的取值范围；
（3）续写已知数列，使得 是公差为 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
参考答案及评分标准
一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
1. . 2. 2. 3. . 4. .
5. . 6. . 7. 48. 8. .
9. . 10. 2. 11. 4.
12. 和
二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
题 号
13
14
15
16
代 号
B
C
A
三．（第17至22题）
17. [解法一] 连接 ，
为异面直线 与 所成的角. ……4分
连接 ，在△ 中， ， ……6分
则
. ……10分
异面直线 与 所成角的大小为 . ……12分
[解法二] 以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系. ……2分
则 ，
得 . ……6分
设 与 的夹角为 ，
则 ， ……10分
与 的夹角大小为 ，
即异面直线 与 所成角的大小为 . ……12分
18. [解法一] ， ……4分
. ……8分
若实系数一元二次方程有虚根 ，则必有共轭虚根 .
，
所求的一个一元二次方程可以是 . ……12分
[解法二] 设
得
， ……4分
以下解法同[解法一].
19. [解]（1） ， ……2分
……4分
（2） ， ……10分
， ， ，
函数 的值域为 . ……14分
20. [解]（1）设曲线方程为 ， 由题意可知， . . ……4分
曲线方程为 . ……6分
（2）设变轨点为 ，根据题意可知
得 ，
或 （不合题意，舍去）.
. ……9分
得 或 （不合题意，舍去）. 点的坐标为 ， ……11分
.
答：当观测点 测得 距离分别为 时，应向航天器发出变轨指令. ……14分
21. [解]（1）
（2）方程 的解分别是 和 ，由于 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增，因此
由于 . ……10分
（3）[解法一] 当 时， .
， ……12分
. 又 ，
① 当 ，即 时，取 ，
则 . ……14分
② 当 ，即 时，取 ， ＝ .
由 ①、②可知，当 时， ， .
因此，在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方. ……16分
[解法二] 当 时， .
由 得 ，
令 ，解得 或 ， ……12分
在区间 上，当 时， 的图像与函数 的图像只交于一点 ； 当 时， 的图像与函数 的图像没有交点. ……14分
如图可知，由于直线 过点 ，当 时，直线 是由直线 绕点 逆时针方向旋转得到. 因此，在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方. ……16分
22. [解]（1） . …… 4分
（2） ， …… 8分
当 时， . …… 12分
（3）所给数列可推广为无穷数列 ，其中 是首项为1，公差为1的等差数列，当 时，数列 是公差为 的等差数列. …… 14分
研究的问题可以是：试写出 关于 的关系式，并求 的取值范围.…… 16分
研究的结论可以是：由 ，
依次类推可得
当 时， 的取值范围为 等. …… 18分
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. 10. 2. 11. 4. 
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